來學(xué)學(xué)新東西？數(shù)列！

第1講　數(shù)列的概念及其表示

1.數(shù)列的有關(guān)概念

2.數(shù)列的表示法

3.an與Sn的關(guān)系

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則

an＝

常用結(jié)論

1．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在正整數(shù)集或其子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．

2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則若an最小，則

【小題自測】

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列．(　　)

(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用通項(xiàng)公式表示．(　　)

(3)數(shù)列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．(　　)

(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)．(　　)

(5)一個確定的數(shù)列，它的通項(xiàng)公式只有一個．(　　)

(6)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對?n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×

2．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析：選D.a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.

3．(教材改編)數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)為，3，，8，，…，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是(　　)

A．an＝    B．an＝

C．an＝    D．an＝

解析：選A.數(shù)列為，，，，，…，其分母為2，分子是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為an＝.

4．在數(shù)列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________項(xiàng)．

解析：依題意得＝(n∈N*)，解得n＝10或n＝(舍去)．

答案：10

5．(忽視對n＝1的驗(yàn)證致誤)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝－2n2＋1，則{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．

解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋2，a1＝－1不適合上式，所以an＝

答案：

考點(diǎn)一　由an與Sn的關(guān)系求an(自主練透)

1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________．

解析：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝

答案：

2．已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________．

解析：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.

當(dāng)n≥2時，Sn＝2an＋1，　①

Sn－1＝2an－1＋1，　②

①－②，得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是首項(xiàng)a1＝－1，q＝2的等比數(shù)列，所以an＝a1·qn－1＝－2n－1.

答案：－2n－1

3．已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________．

解析：當(dāng)n＝1時，由已知，可得a1＝21＝2，

因?yàn)?/span>a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，　①

故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，　②

由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，

所以an＝(n≥2)．

顯然當(dāng)n＝1時不滿足上式，

所以an＝

答案：

(1)已知Sn求an的三個步驟

①先利用a1＝S1求出a1；

②用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式；

③注意檢驗(yàn)n＝1時的表達(dá)式是否可以與n≥2時的表達(dá)式合并．

(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．

①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；

②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．

考點(diǎn)二　由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(師生共研)

分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式．

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；

(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)；

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．

【解】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(n－1)2.

(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，將這n－1個等式疊乘，

得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2.

(3)因?yàn)?/span>an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2·3n－1－1.

由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，則an＝__________．

解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.

答案：2n－1

2．設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，則an＝________．

解析：因?yàn)?/span>an＋1＝an，a1＝2，所以an≠0，

所以＝，

所以當(dāng)n≥2時，an＝···…···a1＝···…··2＝.a1＝2也符合上式，則an＝.

答案：

考點(diǎn)三　數(shù)列的函數(shù)特征(多維探究)

考向1　數(shù)列的單調(diào)性

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)

A．(3，＋∞)   B．(2，＋∞)   C．(1，＋∞)   D．(0，＋∞)

【解析】　因?yàn)?/span>an＋1－an＝－＝，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n對任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．

【答案】　D

解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法

(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；

(2)用作商比較法，根據(jù)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；

(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．

考向2　數(shù)列的周期性

(2022·廣元市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則{bn}的前2 022 項(xiàng)的和為(　　)

A．0   B．1   C．－5   D．－1

【解析】　因?yàn)?/span>bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，

所以b3＝b2－b1＝－3，

b4＝b3－b2＝－1，

b5＝b4－b3＝2，

b6＝b5－b4＝3，

b7＝b6－b5＝1，

…

所以{bn}是周期為6的周期數(shù)列，

且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.

所以S2 022＝S337×6＝0.

【答案】　A

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，則a2 022的值為(　　)

A．2   B．1   C.   D.

解析：選C.因?yàn)?/span>an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，

由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，

由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，

由a3＝2，a4＝1，得a5＝，

由a4＝1，a5＝，得a6＝，

由a5＝，a6＝，得a7＝1，

由a6＝，a7＝1，得a8＝2，

由此推理可得數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，

所以a2 022＝a6＝.

2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且?n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.請寫出一個滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．

解析：?n∈N*，an＋1>an，則數(shù)列{an}是遞增的；?n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，或前5項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第6項(xiàng)為0即可．所以，滿足條件的數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式為an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．

答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一)

[A級　基礎(chǔ)練]

1．?dāng)?shù)列1，3，6，10，…的一個通項(xiàng)公式是(　　)

A．an＝n2－(n－1)    B．an＝n2－1

C．an＝    D．an＝

解析：選C.觀察數(shù)列1，3，6，10，…可以發(fā)現(xiàn)

第n項(xiàng)為1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

所以an＝.

2．已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析：選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.

3．(2022·甘肅省高考診斷考試)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若點(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，則a2 021＝(　　)

A．2 021   B．4 041   C．4 042   D．4 043

解析：選D.由題意可知Sn＝n2＋2n，a2 021＝S2 021－S2 020＝(2 021－2 020)×(2 021＋2 020)＋2×(2 021－2 020)＝4 043.

4．在數(shù)列{an}中，“|an＋1|>an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(　　)

A．充分不必要條件    B．必要不充分條件

C．充要條件    D．既不充分也不必要條件

解析：選B.“|an＋1|>an”?an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列?|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．

5．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21＝(　　)

A．5   B.   C.   D.

解析：選B.因?yàn)?/span>an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，

所以a1＝－a2＝－2，

所以S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝10×＋a1＝5＋－2＝.

6．已知數(shù)列，，，，，…，根據(jù)前3項(xiàng)給出的規(guī)律，實(shí)數(shù)對(m，n)為________．

解析：由數(shù)列的前3項(xiàng)的規(guī)律可知解得故實(shí)數(shù)對(m，n)為.

答案：

7．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5＝________．

解析：由題意知a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，所以an＝(n≥2)，所以a3＋a5＝＋＝.

答案：

8．已知數(shù)列{an}滿足an＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是第__________項(xiàng)．

解析：因?yàn)?/span>an＝，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)必為an＜0，即＜0，3n－16＜0，從而n＜.又n∈N*，所以當(dāng)n＝5時，an的值最?。?/span>

答案：5

9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)．

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.

解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2.

當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝

(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因?yàn)楫?dāng)n＝1時，a1＝S1＝6；

當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，

由于a1不適合此式，所以an＝

10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝4an＋3(n∈N*)．

(1)寫出該數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)證明：＝4.

解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因?yàn)?/span>a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以歸納得an＝4n－1.

(2)證明：因?yàn)?/span>an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.

[B級　綜合練]

11．(2022·石家莊市教學(xué)質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝nsin ，則a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(　　)

A．1 011    B．－

C.    D．－1 011

解析：選D.因?yàn)?/span>an＝nsin ，所以a1＝，a2＝，a3＝0，a4＝－2，a5＝－，a6＝0，a7＝，a8＝4，a9＝0，a10＝－5，a11＝－，a12＝0，…，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝－3，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則有S6＝S12－S6＝S18－S12＝…＝－3，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(a1＋a2＋…＋a6)×337－a2 022＝－3×337－0＝－1 011.

12．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，則a的取值范圍是________．

解析：當(dāng)n≤4時，an＝2n－1單調(diào)遞增，因此n＝4時取最大值，a4＝24－1＝15.

當(dāng)n≥5時，an＝－n2＋(a－1)n

＝－＋.

因?yàn)?/span>a5是{an}中的最大值，所以

解得9≤a≤12，所以a的取值范圍是[9，12]．

答案：[9，12]

13．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理得a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

當(dāng)n≥2時，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，

所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.

14．Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且an－Sn＝n－n2.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn＝2an－5an，求數(shù)列{bn}中最小的項(xiàng)．

解：(1)對任意的n∈N*，由an－Sn＝n－n2，得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，兩式相減得an＝n，因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.

(2)由(1)得bn＝2n－5n，

則bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.

當(dāng)n≤2時，bn＋1－bn<0，

即bn＋1<bn，所以b1>b2>b3；

當(dāng)n≥3時，bn＋1－bn>0，

即bn＋1>bn，所以b3<b4<b5<…，

所以數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)為b3＝23－5×3＝－7.

[C級　提升練]

15．定義：F(x，y)＝yx(x>0，y>0)．已知數(shù)列{an}滿足an＝(n∈N*)，若對任意正整數(shù)n，都有an≥ak(k∈N*)成立，則ak的值為(　　)

A.   B．2   C.   D.

解析：選C.由題意知ak為{an}的最小值，因?yàn)?/span>an＝＝(n∈N*)，所以＝·＝，因?yàn)?n2－(n＋1)2＝(n－1)2－2，且當(dāng)n≥3時，(n－1)2－2>0，所以，當(dāng)n≥3時，an＋1>an；當(dāng)n<3時，(n－1)2－2<0，所以，當(dāng)n<3時，an＋1<an，故當(dāng)n＝3時，數(shù)列{an}有最小值，最小值為.

16．意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2 020項(xiàng)的和為(　　)

A．672   B．673   C．1 347   D．2 020

解析：選C.由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得{an}為1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{an}是周期為3的周期數(shù)列，一個周期中的三項(xiàng)之和為1＋1＋0＝2，因?yàn)? 020＝673×3＋1，

所以數(shù)列{an}的前2 020項(xiàng)的和為673×2＋1＝1 347.